Главная » Математика » Расчётная работа № 10 по численным методам

Расчётная работа № 10 по численным методам

Методы взвешенных невязок при решении краевой задачи
для обыкновенных дифференциальных уравнений

Кафедра математического моделирования
Расчётная работа № 10 по численным методам

Методы взвешенных невязок при решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Цель и задачи работы

Целью работы является формирование у студентов навыков построения и применения методов взвешенных невязок при решении краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в варианте Галеркина.
Задачи:
• Изучение метода Галеркина с использованием глобальной аппроксима¬ции искомой функции.
• Использование метода Галеркина с использованием кусочно-полиноми¬альной аппроксимации искомой функции.

2.Задание на выполнение работы.

Часть 1. Решение краевой задачи на основе метода Галеркина
1. Найти решение краевой задачи на интервале [a,b], используя слабую формулировку метода Галеркина и глобальную аппроксимацию искомой функ-ции, удерживая в разложении 2, 3 и 4 члены ряда.
2. Оценить сходимость полученного решения на основе сравнения вариан-тов решения с различным числом удерживаемых членов.
3. Сравнить полученные решения с аналитическим или численным решени-ем , полученным на основе конечно-разностной аппроксимации.
Часть 2. Конечно-элементное решение краевой задачи на основе метода Галеркина.
1. Найти решение краевой задачи на интервале (a,b), используя симплекс-элементы, построить решение, разбивая области на 2, 3 и 4 элемента.
2. Оценить сходимость полученного решения на основе сравнения вари-антов решения с различным числом удерживаемых членов.
3. Сравнить полученные решения с аналитическим решением , полученным на основе глобальной аппроксимации.
4. Сравнить методы по достигаемой точности и требованиям к ресурсам.

Исходное уравнение:***
Граничные условия. ***

3. Теоретическая справка.
Пусть нам дано дифференциальное уравнение на области с гра-ничными условиями . Нам нужно найти её приближенное решение.
Аппроксимацию для функции ищем в виде , где функция принимает значения, одинаковые с на границе Г, то есть , а — система линейно независимых базисных функций, таких, что для всех m.
Способ определения и системы базисных функций автоматически обес-печивает тот факт, что аппроксимация обладает свойствами для любых значений параметров . Ясно, что система базисных функций должна быть выбрана таким образом, чтобы гарантировать улучшение аппроксимации при возрастании числа М используемых базисных функций. Очевидное условие подобной сходимости аппроксимации таково: система базисных функций должна обладать тем свойством, что комбинация при М может сколь угодно точно представить произвольную функцию , удовлетво-ряющую условию . Это так называемое условие полноты.
Введем сначала понятие невязки. Назовем невязкой некоторую величину, равную . Чтоюы уменьшить ее некоторым всеобъемлющим спосо-бом, потребуем равенства нулю интегралов от погрешности, взятых с различ-ными весами:***

Здесь — множество линейно независимых функций……….

Скачать полную версию можно по ссылке…

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Pin It on Pinterest